連立微分方程式

通常の微分方程式は1つの式で完結していますが、現実世界では1つの微分方程式で完結することはまずありえません。

複雑な事象が絡み合う現実世界を数式で表そうと思えばいくつもの数式が必要になります。

よって連立微分方程式が必要となってきます。

連立微分方程式は線形代数学の力を借りて答えを導き出すのでまずは線形代数学の基本を学んでいなければ解けません。

手計算レベルでは3連立までが限界です。4連立以上になると超難問になります。理由は4連立以上になるとサラスの公式が使えないからです。

3つの連立微分方程式

基本的な連立微分方程式は3種類です。

\[\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a y_{1} + b y_{2} = y_{1}’ \\
c y_{1} + d y_{2} = y_{2}’
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}\]

の係数行列を

\[A = \left(
\begin{array}{ccc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)\]

とする

対角化可能な連立微分方程式

Aが対角化可能な時、Aの固有値がλ１、λ２となり対角化された行列は

\[D = \left(
\begin{array}{ccc}
λ_{1} & 0\\
0 & λ_{2}
\end{array}
\right)\]

となる。

それぞれの固有値に属する固有ベクトルをPとすると

\[y = Pe^{Dx}c\]

ジョルダン標準形用いて解く連立微分方程式

Aが対角化可能でないとき、

実標準形の連立微分方程式